Question

已知函数f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′(x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的导函数.

（1）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；

（2）设a=-m²，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点.

Answer 1

解:（1）由题意g（x）=3x²-ax+3a-5，

令φ（a）=（3-x）a+3x²-5，-1≤a≤1.

对-1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0.

∴.

解得-＜x＜1.

故x∈（-，1）时，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0.

（2）f′（x）=3x²-3m².

①当m=0时，f（x）=x³-1的图象与直线y=3只有一个公共点.

②当m≠0时，列表：

X	（-∞，-|m|）	-|m|	（-|m|，|m|）	|m|	（|m|，+∞）
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)		极大		极小

∴f（x）_极小=f（|m|）=2m²|m|-1＜-1.

又∵f（x）的值域是R，且在（|m|，+∞）上单调递增，

∴当x＞|m|时函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点.

当x＜|m|时，恒有f（x）≤f（-|m|），

由题意得f（-|m|）＜3，

即2m²|m|-1=2|m|³-1＜3，

解得m∈（-，0）∪（0，）.

综上，m的取值范围是（-，）.