Question

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x₀∈D，使得当x∈D且x＞x₀时，总有

0＜f(x)-h(x)＜m 0＜h(x)-g(x)＜m

，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：
①f（x）=x²，g（x）=

x

； 
②f（x）10^-x+2，g（x）=

2x-3

x

；
③f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

xlnx+1

lnx

；  
④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x）
其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是

②④

．

Answer 1

分析：题目给出了具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x₀∈D，使得当x∈D且x＞x₀时，总有

0＜f(x)-h(x)＜m 0＜h(x)-g(x)＜m

，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．当给定的正数m无限小的时候，函数f（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的上方且无限靠近直线，函数g（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的下方且无限靠近直线，说明f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）-g（x）→0．对于第一组函数，通过构造辅助函数F（x）=f（x）-g（x）=x2-

x

，对该函数求导后说明函数F（x）在（1，+∞）上是增函数，不满足x→∞时，f（x）-g（x）→0；对于第二组函数，直接作差后可看出满足x→∞时，f（x）-g（x）→0；对于第三组函数，作差后得到差式为

1

x

-

1

lnx

，结合函数y=x和y=lnx图象的上升的快慢，说明当x＞1时，为

1

x

-

1

lnx

为负值且逐渐减小；第四组函数作差后，可直接看出满足x→∞时，f（x）-g（x）→0．由以上分析可以得到正确答案．

解答：解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）-g（x）→0．
对于①f（x）=x²，g（x）=

x

，当x＞1时，令F（x）=f（x）-g（x）=x2-

x

由于F′(x)=2x-

1

2 x

＞0，所以h（x）为增函数，不符合x→∞时，f（x）-g（x）→0，所以①不存在；
对于②f（x）=10^-x+2，g（x）=

2x-3

x

f（x）-g（x）=10-x+2-

2x-3

x

=(

1

10

)x+

3

x

，
因为当x＞1且x→∞时，f（x）-g（x）→0，所以存在分渐近线；
对于③f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

xlnx+1

lnx

，
f（x）-g（x）=

x2+1

x

-

xlnx+1

lnx

=x+

1

x

-x-

1

lnx

=

1

x

-

1

lnx

当x＞1且x→∞时，

1

x

与

1

lnx

均单调递减，但

1

x

的递减速度比

1

lnx

快，
所以当x→∞时f（x）-g（x）会越来越小，不会趋近于0，
所以不存在分渐近线；
对于④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x），当x→∞时，
f（x）-g（x）=

2x2

x+1

-2x+2+2e-x
=

2x2-2x2-2x+2x+2

x+1

+2e-x
=

2

x+1

+

2

ex

→0，
因此存在分渐近线．
故存在分渐近线的是②④．
故答案为②④．

点评：本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）-g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．