分析 (1)当n=1时,a1=S1,当n>1时,将n换为n-1,两式相减,结合等差数列的通项公式,即可得到所求;
(2)由b1=3,两边取以3为底的对数,运用等比数列的通项公式求得bn=${3}^{{2}^{n-1}}$,cn=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}-1}$=$\frac{{3}^{{2}^{n-1}}}{{3}^{{2}^{n}}-1}$>0,再由cn=$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{({3}^{{2}^{n-1}}-1)({3}^{{2}^{n-1}}+1)}$,结合不等式的性质和裂项相消求和,即可得证.
解答 解:(1)当n=1时,4a1=4S1=(a1+1)2,
解得a1=1,
当n≥2时,由4Sn=(an+1)2(n∈N*),
将n换为n-1,可得4Sn-1=(an-1+1)2,
两式相减可得4an=(an+1)2-(an-1+1)2,
化简可得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
由an>0,可得an-an-1=2,
即有an=1+2(n-1)=2n-1;
(2)证明:由an=2n-1,可得Sn=$\frac{1}{2}$n(1+2n-1)=n2,
bn=S${\;}_{{b}_{n-1}}$(n≥2)=b2n-1,
由b1=3,两边取以3为底的对数,可得
log3bn=2log3bn-1,
即有log3bn=log3b1•2n-1=2n-1,
即bn=${3}^{{2}^{n-1}}$,cn=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}-1}$=$\frac{{3}^{{2}^{n-1}}}{{3}^{{2}^{n}}-1}$>0,
则Tn≥c1=$\frac{3}{{3}^{2}-1}$=$\frac{3}{8}$;
又cn=$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{({3}^{{2}^{n-1}}-1)({3}^{{2}^{n-1}}+1)}$,
当n≥2时,
Tn=c1+c2+c3+…+cn=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{80}$+$\frac{1}{80}$-$\frac{1}{80×82}$+…+$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{({3}^{{2}^{n-1}}-1)({3}^{{2}^{n-1}}+1)}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{({3}^{{2}^{n-1}}-1)({3}^{{2}^{n-1}}+1)}$<$\frac{1}{2}$.
综上可得,$\frac{3}{8}$≤Tn<$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查数列通项公式的求法,注意运用下标变换法,同时考查等差数列和等比数列的通项公式的运用,考查不等式的证明,注意运用裂项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
日期 | PM2.5浓度 | 日期 | PM2.5浓度 | 日期 | PM2.5浓度 |
11-1 | 137 | 11-11 | 144 | 11-21 | 40 |
11-2 | 143 | 11-12 | 166 | 11-22 | 42 |
11-3 | 145 | 11-13 | 197 | 11-23 | 35 |
11-4 | 193 | 11-14 | 194 | 11-24 | 53 |
11-5 | 133 | 11-15 | 219 | 11-25 | 88 |
11-6 | 22 | 11-16 | 41 | 11-26 | 29 |
11-7 | 22 | 11-17 | 90 | 11-27 | 199 |
11-8 | 57 | 11-18 | 46 | 11-28 | 287 |
11-9 | 111 | 11-19 | 80 | 11-29 | 291 |
11-10 | 134 | 11-20 | 67 | 11-30 | 452 |
空气质量指数类别 | PM2.5 24小时浓度均值 | 频数 | 频率 |
优 | 0-35 | 4 | $\frac{2}{15}$ |
良 | 36-75 | 7 | $\frac{7}{30}$ |
轻度污染 | 76-115 | 4 | |
中度污染 | 116-150 | 6 | |
重度污染 | 151-250 | ||
严重污染 | 251-500 | ||
合计 | / | 30 | 1 |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 2 | C. | ±$\frac{1}{2}$ | D. | ±2 |
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