【题目】某工艺品厂要设计一个如图Ⅰ所示的工艺品,现有某种型号的长方形材料如图Ⅱ所示,其周长为4m,这种材料沿其对角线折叠后就出现图Ⅰ的情况.如图,ABCD(AB>AD)为长方形的材料,沿AC折叠后AB'交DC于点P,设△ADP的面积为
S2 , 折叠后重合部分△ACP的面积为S1 .
(Ⅰ)设AB=xm,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;
(Ⅱ)求面积S2最大时,应怎样设计材料的长和宽?
(Ⅲ)求面积(S1+2S2)最大时,应怎样设计材料的长和宽?
【答案】解:(Ⅰ)由题意,AB=x,BC=2﹣x,因为x>2﹣x,故1<x<2.
设DP=y,则PC=x﹣y,
因为△ADP≌△CB'P,故PA=PC=x﹣y,
由PA2=AD2+DP2 , 得(x﹣y)2=(2﹣x)2+y2 , .
(Ⅱ)记△ADP的面积为S2 , 则
= ,
当且仅当 时,S2取得最大值.
故当材料长为 ,宽为 时,S2最大.(Ⅲ) ,1<x<2.
于是 ,∴ .
关于x的函数(S1+2S2)在 上递增,在 上递减,
所以当 时,S1+2S2取得最大值.
故当材料长为 m,宽为 m时,S1+2S2最大
【解析】(Ⅰ)设AB=xm,利用△ADP≌△CB'P,故PA=PC=x﹣y,结合PA2=AD2+DP2 , 即可用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;(Ⅱ)利用基本不等式求面积S2最大时,设计材料的长和宽;(Ⅲ)求面积(S1+2S2),利用导数确定函数的单调性,即可得出最大时,设计材料的长和宽.
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【题目】已知椭圆 上的动点P与其顶点 , 不重合. (Ⅰ)求证:直线PA与PB的斜率乘积为定值;
(Ⅱ)设点M,N在椭圆C上,O为坐标原点,当OM∥PA,ON∥PB时,求△OMN的面积.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.“x2+x﹣2>0”是“x>1”的充分不必要条件
B.“若am2<bm2 , 则a<b”的逆否命题为真命题
C.命题“?x∈R,使得2x2﹣1<0”的否定是“?x∈R,均有2x2﹣1>0”
D.命题“若x= ,则tanx=1”的逆命题为真命题
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,面积S= abcosC
(1)求角C的大小;
(2)设函数f(x)= sin cos +cos2 ,求f(B)的最大值,及取得最大值时角B的值.
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【题目】定义:f1(x)=f(x),当n≥2且x∈N*时,fn(x)=f(fn﹣1(x)),对于函数f(x)定义域内的x0 , 若正在正整数n是使得fn(x0)=x0成立的最小正整数,则称n是点x0的最小正周期,x0称为f(x)的n~周期点,已知定义在[0,1]上的函数f(x)的图象如图,对于函数f(x),下列说法正确的是(写出所有正确命题的编号)
①1是f(x)的一个3~周期点;
②3是点 的最小正周期;
③对于任意正整数n,都有fn( )= ;
④若x0∈( ,1],则x0是f(x)的一个2~周期点.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中: ①|BM|是定值;
②点M在某个球面上运动;
③存在某个位置,使DE⊥A1C;
④存在某个位置,使MB∥平面A1DE.
其中正确的命题是 .
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