Question

已知等差数列{a_n}公差不为0，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}前n项和为B_n，公比为q，且|q|＞1，则

lim

n→+∞

(

Sn

nan

+

Bn

bn

)=

1

2

+

q

q-1

．

Answer 1

分析：设出等差数列的公差，求出前n项和，通项公式；求出等比数列的前n项和，通项公式，即可化简

Sn

nan

+

Bn

bn

，求出

lim

n→+∞

(

Sn

nan

+

Bn

bn

)．

解答：解：等差数列的公差为d，所以前n项和为S_n=na1+

n(n-1)

2

d，a_n=a₁+（n-1）d；
等比数列{b_n}前n项和为B_n，公比为q，且|q|＞1，B_n=

b1(1-qn)

1-q

，b_n=b₁q^n-1；
所以

lim

n→+∞

(

Sn

nan

+

Bn

bn

)=

lim

n→+∞

(

na1+ n(n-1) 2 d

n [a1+(n-1)d]

+

b1(1-qn) 1-q

b1qn-1

)
=

lim

n→+∞

(

a1 n + d 2 - d 2n

a1 n +1- d n

+

1-qn

(1-q)qn-1

 )
=

1

2

+

q

q-1

故答案为：

1

2

+

q

q-1

．

点评：本题是中档题，考查数列的通项公式与前n项和的求法，数列极限的应用，考查计算能力，注意公比的范围．