Question

11．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE₁F₁的位置，使得平面ABE₁F₁⊥平面ABCD，M为AF₁上一点，如图2．

（I）求证：BE₁⊥DC；
（II）求证：DM∥平面BCE₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用线面垂直的定理证明出BE₁⊥平面ABCD，进而可推断出BE₁⊥DC．
（Ⅱ）先证明出AM∥BE₁，然后利用面面平行的判定定理证明出平面ADM∥平面BCE₁．

解答 证明：（Ⅰ）因为四边形ABE₁F₁为矩形，
所以BE₁⊥AB．
因为平面ABCD⊥平面ABE₁F₁，且平面ABCD∩平面ABE₁F₁=AB，BE₁?平面ABE₁F₁，
所以BE₁⊥平面ABCD．…（4分）
因为DC?平面ABCD，
所以BE₁⊥DC．…（6分）
（Ⅱ）因为四边形ABE₁F₁为矩形，
所以AM∥BE₁．
因为AD∥BC，AD∩AM=A，BC∩BE₁=B，
所以平面ADM∥平面BCE₁．…（10分）
因为DM?平面ADM，
所以DM∥平面BCE₁．…（12分）

点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理和线面平行，面面平行的判定定理的运用．考查了学生的空间观察和想象能力．