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在直角三角形ABC中,∠ACB=30°,∠B=90°,D为AC的中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于点F(如图1). 将△ABD沿BD折起,二面角A-BD-C的大小记为θ(如图2).
(Ⅰ)求证:面AEF⊥面BCD;面AEF⊥面BAD;
(Ⅱ)当cosθ为何值时,AB⊥CD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求FB与平面BAD所成角的正弦值.
分析:(Ⅰ)可以先证明△ABD为等边三角形,从而可得BD⊥AE,BD⊥EF,根据线面垂直的判定可得BD⊥面AEF,进而根据面面垂直的判定可得面AEF⊥面BCD.同理面AEF⊥面BAD
(Ⅱ)由(Ⅰ)的证明可得∠AEF为二面角A-BD-C的平面角.过A作AO⊥面BCD,垂足为O.由于面AEF⊥面BCD,所以O在FE上,连BO交CD延长线于M,从而当AB⊥CD时,由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM,由此可求得cosθ的值;
(Ⅲ)过F作FG⊥AE交AE的延长线于G点,由(Ⅰ)面AEF⊥面BAD,则FG⊥面BAD,故∠FBG就是FA与平面BAD所成角,在三角形FBG中,可求∠FBG的正弦值.
解答:证明:(Ⅰ)在△ABC中,由∠ACB=30°,得AB=
1
2
AC

由D为AC的中点,得BD=
1
2
AC
.∴△ABD为等边三角形
则BD⊥AE,BD⊥EF,
∴BD⊥面AEF,
又∵BD?面BCD,∴面AEF⊥面BCD.
同理面AEF⊥面BAD…
(Ⅱ)由(Ⅰ)的证明可得∠AEF为二面角A-BD-C的平面角.过A作AO⊥面BCD,垂足为O.
∵面AEF⊥面BCD,∴O在FE上,连BO交CD延长线于M,
当AB⊥CD时,由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM,
∴O为翻折前的等边三角形△ABD的中心.
OE=
1
3
AE
cosθ=-
1
3

因此当cosθ=-
1
3
时,AB⊥CD.…(7分)
(Ⅲ)过F作FG⊥AE交AE的延长线于G点,由(Ⅰ)面AEF⊥面BAD,则FG⊥面BAD
故∠FBG就是FA与平面BAD所成角
设AB=a,则AE=
3
2
a,EF=
3
a
6
,FB=
3
a
3

cosθ=-
1
3
⇒sin∠FEG=
2
2
3

GF=
3
a
6
×
2
2
3
=
6
9
a

所以sin∠FBG=
GF
FB
=
2
3

即FB与平面BAD所成角的正弦值为
2
3
…(12分)
点评:本题以平面图形为载体,考查图形的翻折,关键是搞清翻折前后有关元素的变与不变,考查面面角,考查线面角,关键是正确作出相应的角.
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1
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=
1
|AB|2
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1
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j
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