Question

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（I）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：
（Ⅱ）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．设A、B两点的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），x₁x₂=-4m．由点P（0，m）分有向线段所成的比为λ，得．由此可以推出．
（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（-4，4）．设圆C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，则解得．所以圆C的方程是x²+y²+3x-23y+72=0．
解答：解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．①
设A、B两点的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程①的两根．
所以x₁x₂=-4m．
由点P（0，m）分有向线段所成的比为λ，
得．
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，-m），从而.．==．
所以．
（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（-4，4）．
由x²=y得，
所以抛物线x²=4y在点A处切线的斜率为y'|_x=6=3
设圆C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
则
解之得．
所以圆C的方程是，
即x²+y²+3x-23y+72=0．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．