Question

已知f（x）=（x²+1）（x+a）
（1）当x∈（0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于1，求a的取值范围．
（2）若y=f（x）在x∈（0，+∞）上有极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）问题等价于f′（x）＞1在x∈（0，+∞）上恒成立，进而转化为函数的最值问题解决；
（2）函数f（x）在x∈（0，+∞）上有极值点，即y=f′（x）在（0，+∞）上有零点，且零点两侧异号，由f′（0）=1＞0知：f′（x）在（0，+∞）上必有两个零点，由此得一不等式组，解出即可．

解答：解：（1）x∈（0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于1，
等价于f′（x）＞1在x∈（0，+∞）上恒成立，即3x²+2ax+1＞1，也即3x+2a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
所以3×0+2a≥0，解得a≥0，
故实数a 的取值范围为[0，+∞）．
（2）f′（x）=3x²+2ax+1，易知f′（0）=1＞0，
要使f（x）在x∈（0，+∞）上有极值点，只需y=f′（x）在（0，+∞）上有两个零点即可，
所以有

- 1 3 a＞0 △=4a2-4×3＞0

，解得a＜-

3

．
故a的取值范围为：（-∞，-

3

）．

点评：本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的极值，考查学生运用所学知识分析问题解决问题的转化能力，属中档题