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5.已知函数$f(x)=1-2{sin^2}(x+\frac{π}{8})+2sin(x+\frac{π}{8})cos(x+\frac{π}{8})$.
(1)求f(x)的最小正周期及单调增区间;
(2)求f(x)在区间$[{-\frac{π}{4},\frac{3π}{8}}]$上的最值.

分析 (1)由两角和的正弦公式、二倍角余弦公式变形化简解析式,由余弦函数的性质和整体思想,求出f(x)的最小正周期及单调增区间;
(2)由x的范围求出“2x”的范围,由正弦函数的性质,求出f(x)在区间$[{-\frac{π}{4},\frac{3π}{8}}]$上的最值.

解答 解:(1)$f(x)=1-2si{n}^{2}(x+\frac{π}{8})+2sin(x+\frac{π}{8})cos(x+\frac{π}{8})$
=$1-[1-cos(2x+\frac{π}{4})]+sin(2x+\frac{π}{4})$
=$cos(2x+\frac{π}{4})+sin(2x+\frac{π}{4})$=$\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4}+\frac{π}{4})$
=$\sqrt{2}cos2x$
所以f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$,
由-π+2kπ≤2x≤2kπ(k∈z)得,$-\frac{π}{2}+kπ≤x≤kπ(k∈z)$,
所以f(x)的单调增区间是$[-\frac{π}{2}+kπ,kπ](k∈z)$;
(2)由$x∈[-\frac{π}{4},\frac{3π}{8}]$得,$2x∈[-\frac{π}{2},\frac{3π}{4}]$,
则$cos2x∈[-\frac{\sqrt{2}}{2},1]$,即$f(x)=\sqrt{2}cos2x∈[-1,\sqrt{2}]$,
所以f(x)在区间$[{-\frac{π}{4},\frac{3π}{8}}]$上的最大值是$\sqrt{2}$、最小值是-1.

点评 本题考查正弦函数的性质,两角和的正弦公式、二倍角余弦公式变形等,及三角形的周期公式的应用,考查整体思想,化简、变形能力.

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