Question

【题目】已知集合Rn={X|X=（x1 ， x2 ， …，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1 ， a2 ， …，an）∈Rn ， B=（b1 ， b2 ， …，bn）∈Rn ， 定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|= ．
（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（Ⅱ）若集合M满足：MR3 ， 且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；
（Ⅲ）设集合PRn ， P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为 ，证明 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2 ， d（A，B）max=2．
（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}
或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，
集合M中元素个数最大值为4．
（Ⅲ） ，其中 表示P中所有两个元素间距离的总和．
设P中所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1，m﹣ti个0，则
由于 （i=1，2，…，n）
所以
从而
【解析】（Ⅰ）根据集合的定义，写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ） ，其中 表示P中所有两个元素间距离的总和，根据 ，即可证明结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．