【题目】已知函数.
(1)探究函数在上的单调性;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减;当时,函数在上单调递减;
(2).
【解析】
(1)对函数求导后,对分成三类,讨论函数的单调性.(2)将原不等式转化为当时,恒成立,构造函数,利用导数研究函数的单调性,由此求得的取值范围.
(1)依题意,,
当时,,故;
当时,,故当时,,当时,;
当时,,故;
综上:当时,函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递增,在上单调递减;
当时,函数在上单调递减;
(2)由题意得,当时,恒成立;
令,
求导得,
设,则,
因为,所以,所以,
所以在上单调递增,即在上单调递增,
所以;
①当时,,此时,在上单调递增,
而,所以恒成立,满足题意;
②当时,,
而;
根据零点存在性定理可知,存在,使得.
当时,单调递减;
当时,,单调递增.
所以有,这与恒成立矛盾,舍去;
综上所述,实数的取值范围为.
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【题目】已知点P与两个定点O(0,0),A(-3,0)距离之比为.
(1)求点P的轨迹C方程;
(2)求过点M(2,3)且被轨迹C截得的线段长为2的直线方程.
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【题目】某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
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【题目】某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车,调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间,将统计结果分成5组:,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值及续驶里程在的车辆数;
(2)若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.
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【题目】某知名品牌汽车深受消费者喜爱,但价格昂贵.某汽车经销商推出A、B、C三种分期付款方式销售该品牌汽车,并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析,得到如下的柱状图.已知从A、B、C三种分期付款销售中,该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元,2万元,3万元.现甲乙两人从该汽车经销商处,采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆.以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率.
(1)求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率;
(2)记X(单位:万元)为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润,求X的分布列与期望.
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【题目】已知函数f(x)=ln(x+a)﹣x,a∈R.
(1)当a=﹣1时,求f(x)的单调区间;
(2)若x≥1时,不等式ef(x)+ x2>1恒成立,求实数a的取值范围.
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