Question

下列函数中，在（0，

π

2

）上有零点的函数是（　　）

• A．f（x）=sinx-x
• B．f（x）=sinx-

  2

  π

  x
• C．f（x）=sin²x-x
• D．f（x）=sin²x-

  2

  π

  x

Answer 1

分析：对选项中的函数分别进行求导，研究它们的极值和单调性进行分析，对于A：求导，由导数的符号知f（x）在（0，

π

2

）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，

π

2

）上无零点，故错；对于B：求导，令导数等于零，求出该函数的极值点x₁，分析函数的单调性f（x）在（0，x₁）上单调递增，在（x1，

π

2

）上单调递减，对于C：求导，由导数的符号知f（x）在（0，

π

2

）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，

π

2

）上无零点，故错；对于D：求导，求得函数的极值点，分析函数的单调性，可知该选项正确．

解答：解：对于A：f'（x）=cosx-1＜0，x∈（0，

π

2

）
∴f（x）在（0，

π

2

）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，

π

2

）上无零点，故错；
对于B：令f′（x）=cosx-

2

π

=0，得x₁=arccos

2

π

，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＞0，当x1＜x＜

π

2

时，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上单调递增，在（x1，

π

2

）上单调递减，
而f（0）=0，f（

π

2

）=0，故该函数在（0，

π

2

）上无零点，故错；
对于C：f′（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0，x∈（0，

π

2

）
∴f（x）在（0，

π

2

）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，

π

2

）上无零点，故错；
对于D：令f′（x）=2sinxcosx-

2

π

=sin2x-

2

π

=0，得x₁=arcsin

2

π

，或x₂=π-arcsin

2

π

，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＜0，当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＞0，当x2＜x＜

π

2

时，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增，在（x2，

π

2

）上单调递减，
而f（0）=0，f（

π

2

）=0，故该函数在（0，

π

2

）上有零点，故正确；
故选D．

点评：此题是个中档题．考查函数的零点的判定定理，和利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．