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中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为
3
3
,且经过点Q(1,
2
3
3
).若分别过椭圆的左右焦点F1,F2的动直线l1、l2相交于P点,与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点,直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4. 
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在定点M、N,使得|PM|+|PN|为定值.若存在,求出M、N点坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,则由题意
1
a2
+
4
3b2
=1
c
a
=
3
3
a2=b2+c2
解得即可;
(2)当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(-1,0)或(1,0).当直线l1、l2斜率存在时,设斜率分别为m1,m2.可得l1的方程为y=m1(x+1),l2的方程为y=m2(x-1).设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系,再利用斜率计算公式和已知即可得出m1与m2的关系,进而得出答案.
解答:解:(1)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

则由题意
1
a2
+
4
3b2
=1
c
a
=
3
3
a2=b2+c2
解得
a2=3
b2=2,c=1

∴椭圆方程为
x2
3
+
y2
2
=1

(2)当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(-1,0)或(1,0).
当直线l1、l2斜率存在时,设斜率分别为m1,m2
∴l1的方程为y=m1(x+1),l2的方程为y=m2(x-1).
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
联立
y=m1(x+1)
x2
3
+
y2
2
=1
,得到(2+3
m
2
1
)x2+6
m
2
1
x+3
m
2
1
-6=0

x1+x2=-
6
m
2
1
2+3
m
2
1
x1x2=
3
m
2
1
-6
2+3
m
2
1

同理x3+x4=
6
m
2
2
2+3
m
2
2
x3x4=
3
m
2
2
-6
2+3
m
2
2
.(*)
k1=
y1
x1
=
m1(x1+1)
x1
=m1+
m1
x1
k2=m1+
m1
x2
k3=m2-
m2
x3
k4=m2-
m2
x4

又满足k1+k2=k3+k4
2m1+m1
x1+x2
x1x2
=2m2-m2
x3+x4
x3x4

把(*)代入上式化为:2m1+m1
-2
m
2
1
m
2
1
-2
=2m2
-m2
2
m
2
2
m
2
2
-2
.(m1≠m2).
化为m1m2=-2.
设点P(x,y),则
y
x+1
y
x-1
=-2
,(x≠±1)
化为
y2
2
+x2=1

由当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(-1,0)或(1,0)也满足,
∴点P在椭圆上,则存在点M、N其坐标分别为(0,-1)、(0,1),使得|PM|+|PN|=2
2
为定值.
点评:熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得出根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键.
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