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    椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=
    2
    3
    ，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：
    CA
    =λ
    BC
    （λ≥2）．
    （1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
    （2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
    （3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
    设椭圆方程为：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），
    由e=
    c
    a
    =
    2
    3
    及a2=b2+c2得a2=3b2，
    故椭圆方程为x2+3y2=3b2①
    （1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
    并且
    CA
    =λ
    BC
    （λ≥2）
    ∴（x1+1，y1）=λ（-1-x2，-y2），
    即
    x1+1=-λ(x2+1)
    y1=-λy2
    ②
    把y=k（x+1）代入椭圆方程，
    得：（3k2+1）x2+6k2x+3k2-3b2=0，且△=k2（3b2-1）+b2＞0，
    ∴x1+x2=-
    6k2
    3k2+1
    ③x1x2=
    3k2-3b2
    3k2+1
    ④
    ∴S△OAB=
    1
    2
    		1+k2
    |x1-x2|
    |k|
    		1+k2
    =
    1
    2
    |k||x1-x2|=
    |λ+1|
    2
    |k||x2+1|
    联立②、③得：x2+1=
    2
    (1-λ)(3k2+1)

    ∴S△OAB=
    λ+1
    λ-1
    •
    |k|
    3k2+1
    (k≠0)
    （2）S△OAB=
    λ+1
    λ-1
    •
    |k|
    3k2+1
    =
    λ+1
    λ-1
    •
    1
    3|k|+
    1
    |k|
    ≤
    λ+1
    λ-1
    •
    1
    2
    		3
    (λ≥2)
    当且仅当3|k|=
    1
    |k|
    即k=±
    		3
    3
    时，S△OAB取得最大值．
    此时x1+x2=-1，
    又∵x1+1=-λ（x2+1），
    ∴x1=
    1
    λ-1
    ，x2=
    -λ
    λ-1
    ，代入④得：3b2=
    λ2+1
    (λ-1)2

    故此时椭圆的方程为x2+3y2=
    λ2+1
    (λ-1)2
    (λ≥2)
    （3）由②．③联立得：x1=
    -2λ
    (1-λ)(3k2+1)
    -1    ，x2=
    2
    (1-λ)(3k2+1)
    -1    ，将x1．x2代入④得：3b2=
    4λ
    (λ-1)2(3k2+1)
    +1    ，
    由k2=λ-1
    得：3b2=
    4λ
    (λ-1)2(3λ-2)
    +1=
    4
    3
    [
    1
    (λ-1)2
    +
    2
    (λ-1)2(3λ-2)
    ]+1
    易知：当λ≥2时，3b2是λ的减函数，
    故当λ=2时，（3b2）max=3．
    故当λ=2，
    k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2+3y2=3．
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知离心率为
    		3
    2
    的椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞o）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A，B．
    （1）求椭圆的C方程．
    （2）证明：若直线MA，MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知点F是双曲线C：x2-y2=2的左焦点，直线l与双曲线C交于A、B两点，
    （1）若直线l过点P（1，2），且
    OA
    +
    OB
    =2
    OP
    ，求直线l的方程．
    （2）若直线l过点F且与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，设
    FB
    =λ
    FA
    ，当λ∈[6，+∞）时，求直线l的斜率k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（　　）
    A．5B．
    5
    2
    		C．
    3
    2
    		D．
    17
    8

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设双曲线方程
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(b＞a＞0)    的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为
    		3
    4
    c    ．
    （1）求双曲线的离心率；
    （2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(b＞a＞0)    ，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
    		5
    ，
    		3
    )    在双曲线上．
    （1）求双曲线的方程；
    （2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
    OP
    •
    OQ
    =0    ．问：
    1
    |OP|2
    +
    1
    |OQ|2
    是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周长为16．
    （1）求点C轨迹L的方程；
    （2）过O作直线OM、ON，分别交轨迹L于M、N点，且OM⊥ON，求S△MON的最小值；
    （3）在（2）的前提下过O作OP⊥MN交于P点．求证点P在定圆上，并求该圆的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知F1，F2为双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．
    （Ⅰ）若点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，求此双曲线的离心率；
    （Ⅱ）设双曲线的渐近线方程为y=±x，F2到渐近线的距离是
    		2
    ，过F2的直线交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2，以F1，F2为焦点，离心率为
    1
    2
    的椭圆C2与抛物线C1的一个交点为P．
    （1）若椭圆的长半轴长为2，求抛物线方程；
    （2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，如果|A1A2|等于△PF1F2的周长，求l的斜率；
    （3）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

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