Question

10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π．若将f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x∈[0，$\frac{π}{3}$]，f（x）+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω，由函数g（x）为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．同理，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的减区间．
（3）通过x的范围求出2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，然后求出函数的最大值，即可推出m的范围．

解答 解：（1）∵$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）-b．
又g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]-b+$\sqrt{3}$为奇函数，且0＜φ＜π，则φ=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
故f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（2）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得：-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，（k∈Z），
故函数的增区间为[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]（k∈Z）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得：$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，（k∈Z），
故函数的减区间为[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]（k∈Z）．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$∈[-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$]，
∵f（x）≤-m恒成立，
∴m≤$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，不等式的性质应用，函数的奇偶性，函数的恒成立问题，属于中档题．