分析 (Ⅰ)连接ED,MN∥ED,根据线面平行的判定定理即可证明:MN∥平面ADFE;
(Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角M-NA-F的余弦值.
解答 证明:(Ⅰ)连接ED,MN∥ED,
又MN?平面EFDA,ED?平面EFDA
所以MN∥平面EFDA
(Ⅱ)由题意平面EFDA⊥平面EFCB,平面EFDA∩平面EFCB=EF,CF⊥EF,CF?平面EFCB
所以CF⊥平面EFDA,
以F为坐标原点,FE方向为x轴,FD方向为y轴,FC方向为Z轴,建立空间直角坐标系.
由题意F(0,0,0),E(2,0,0),C(0,0,2),D(0,2,0),M(1,0,1),N(0,1,1),A(2,1,0),
设平面AMN的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
则$\overrightarrow{AM}$=(-1,-1,1),$\overrightarrow{AN}$=(-2,0,1),
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AM}$=-x-y+z=0,$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AN}$=-2x+z=0,
令x=1,则z=2,y=1,即平面AMN的法向量为,$\overrightarrow{m}$=(1,1,2),
同理得平面AFN的法向量为$\overrightarrow{n}$=(1,-2,2),
设所求的二面角为θ
则|cosθ|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
又所求二面角为锐角,)
所以求二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$.
点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解,建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法解二面角是解决本题的关键.
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A. | 2 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 2或$\frac{1}{2}$ | D. | -2或$\frac{1}{2}$ |
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A. | f′(1) | B. | $\frac{1}{3}$f′(1) | C. | 不存在 | D. | 以上都不对 |
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