Question

已知f（x）=ax²+bx+c，若a+c=0，f（x）在[-1，1]上的最大值为2，最小值为-．求证：a≠0且||＜2．

Answer 1

【答案】分析：先反设，再分情况进行讨论，即可证明．
解答：证明：由a+c=0，可得c=-a，故f（x）=ax²+bx+（-a）．
假设a=0或||≥2．
（1）由a=0得f（x）=bx，由于b≠0，故f（x）在[-1，1]上单调，
因此f（x）最大值为|b|，最小值为-|b|．
∴，矛盾表明a≠0；
（2）由||≥2得||≥1且a≠0．
∴区间[-1，1]位于抛物线f（x）=ax²+bx-a的对称轴x=的左侧或右侧．
因此，f（x）在[-1，1]上单调，其最大值为|b|，最小值为-|b|，这是不可能的．
由此可知假设不成立，原命题成立，即a≠0且||＜2．
综上，a≠0且||＜2．
点评：本题考查不等式的证明，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．