Question

若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=1相切，从圆C外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）已知点Q（2，﹣2），且|PT|=|PQ|，试判断点P是否总在某一定直线l上，若是，求出l的方程；若不是，请说明理由；

（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l与x轴的交点为F，点M，N是直线x=6上两动点，且以M，N为直径的圆E过点F，圆E是否过定点？证明你的结论．

Answer 1

解答：

（Ⅰ）解：设圆心C（m，n）由题易得m=3﹣﹣﹣﹣（1分）   

半径，﹣﹣﹣﹣（2分）

得n=﹣4，r=5﹣﹣﹣﹣（3分）    

所以圆C的方程为（x﹣3）²+（y+4）²=25﹣﹣﹣﹣（4分）

（Ⅱ）解：由题可得PT⊥CT﹣﹣﹣﹣（5分）  

所以﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

﹣﹣﹣﹣（7分）

所以=整理得a﹣2b+4=0

所以点P总在直线x﹣2y+4=0上﹣﹣﹣﹣（8分）

（Ⅲ）证明：F（﹣4，0）﹣﹣﹣﹣（9分）  

由题可设点M（6，y₁），N（6，y₂），

则圆心，半径﹣﹣﹣﹣（10分）

从而圆E的方程为﹣﹣﹣﹣（11分）

整理得x²+y²﹣12x﹣（y₁+y₂）y+36+y₁y₂=0又点F在圆E上，故=0

得y₁y₂=﹣100﹣﹣﹣﹣（12分）  

所以x²+y²﹣12x﹣（y₁+y₂）y﹣64=0

令y=0得x²﹣12x﹣64=0，﹣﹣﹣﹣（13分）  

所以x=16或x=﹣4

所以圆E过定点（16，0）和（﹣4，0）﹣﹣﹣﹣（14分）