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    在△ABC中，设
    BC
    •
    CA
    =
    CA
    •
    AB
    ，
    （1）求证：△ABC为等腰三角形；
    （2）若|
    BA
    +
    BC
    |=2，且B∈[
    π
    3
    ，
    2π
    3
    ]，求
    BA
    •
    BC
    的取值范围．
    分析：（1）由
    BC
    •
    CA
    =
    CA
    •
    AB
    ，知
    CA
    •(
    BC
    -
    AB
    )=0    ，由
    AB
    +
    BC
    +
    CA
    =
    0
    ，知
    CA
    =-(
    AB
    +
    BC
    )    ，所以
    AB
    2    -
    BC
    2     =
    0
    ，由此能够证明△ABC为等腰三角形．
    （2）由B∈[
    π
    3
    ，
    2π
    3
    ]    ，知cosB∈[-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ]    ，设|
    AB
    | =|
    BC
    | =a    ，由|
    BA
    +
    BC
    |  =2    ，知a2+a2+2a2cosB=4，所以a2=
    2
    1+cosB
    ，由此能够求出
    BA
    •
    BC
    的取值范围．
    解答：解：（1）∵
    BC
    •
    CA
    =
    CA
    •
    AB
    ，
    ∴
    CA
    •(
    BC
    -
    AB
    )=0    ，
    ∵
    AB
    +
    BC
    +
    CA
    =
    0
    ，（3分）
    ∴
    CA
    =-(
    AB
    +
    BC
    )    ，
    ∴-(
    AB
    +
    BC
    )•(
    BC
    -
    AB
    )=
    0
    ，
    ∴
    AB
    2    -
    BC
    2     =
    0
    ，
    所以|
    AB
    |2=|
    BC
    |2    ，
    即|AB|=|BC|，
    故△ABC为等腰三角形．（6分）
    （2）∵B∈[
    π
    3
    ，
    2π
    3
    ]    ，
    ∴cosB∈[-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ]    ，
    设|
    AB
    | =|
    BC
    | =a    ，
    ∵|
    BA
    +
    BC
    |  =2    ，
    ∴|
    BA
    +
    BC
    |2=4    ，（9分）
    ∴a2+a2+2a2cosB=4，
    ∴a2=
    2
    1+cosB
    ，
    ∴
    BA
    •
    BC
    =|
    BA
    | •|
    BC
    | cosB=a2    ，
    cosB=
    2cosB
    1+cosB
    =2-
    2
    1+cosB
    ∈[-2，
    2
    3
    ]    （12分）
    点评：本题考查平面向量的综合运用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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    如图，在△ABC中，设BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：a2=b2+c2-2bccosA．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，设
    BC
    =
    a
    ，
    CA
    =
    b
    ，则
    AB
    =
    -（
    a
    +
    b
    ）
    -（
    a
    +
    b
    ）
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，设
    BC
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b
    ，且|
    a
    |=2，|
    b
    |=3，
    a
    •
    b
    =3    ，则∠C的大小为（　　）

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    科目：高中数学 来源：2015届陕西省高一下学期期中考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，在△ABC中，设BC,CA, AB的长度分别为a，b，c，证明：a2=b2+c2-2bccosA

     

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