Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，$\sqrt{3}$），且双曲线的一个焦点在抛物线y²=4$\sqrt{7}$x的准线上，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．

解答 解：由题意，$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵抛物线y²=4$\sqrt{7}$x的准线方程为x=-$\sqrt{7}$，双曲线的一个焦点在抛物线y²=4$\sqrt{7}$x的准线上，
∴c=$\sqrt{7}$，
∴a²+b²=c²=7，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．