Question

设定义在R上的函数f(x)满足：①对任意的实数x，y∈R，有f(x+y)＝f(x)·f(y)；②当x＞0时，f(x)＞1．数列{a_n}满足a₁＝f(0)，且f()＝(n∈N*)．(1)求f(0)，判断并证明函数f(x)的单调性；

(2)求数列{a_n}的通项a_n的表达式；

(3)令b_n是最接近，

设T_n＝…+．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)令y＝0，x＝1得:f(1)＝f(1)·f(0)f(1)(1－f(0))＝0， 　　∵f(1)≠0，∴f(0)＝1 　　∵x0时，f(x)＞1，而由点①可知:1＝f(0)＝f(－x+x)＝f(－x)·f(x)，∴f(x)＝ 　　∴x＜0时，0＜f(x)＜1，∴x∈R时，0＜f(x) 　　设x1＜x2，由f(x2)＝f[x1+(x2－x1)]＝f(x1)·f(x2－x1)，而x1－x2＞0，∴f(x2－x1)＞1 　　∴f(x2)＝f[x1+(x2－x1)]＝f(x1)·f(x2－x1)＞f(x1)，∴f(x)在R上是单调递增函数. 　　(Ⅱ)因为数列{an}满足a1＝f(0)＝1，且f()＝ 　　由(Ⅰ)可得f()＝f(an+1)，即＝an+1，∴－an＝1(n∈N*)，∴an＝n(n∈N*) 　　(Ⅲ)令bn＝k(k∈N*)是最接近的正整数， 　　则k－ 　　由于k，n都是正整数，∴k2－k+1≤n≤k2+k 　　所以满足bn＝k的正整数n有k2+k－(k2－k+1)+1＝2k个；312＜1000＜322，322－32+1＝993 　　T1000＝＝ 　　＝＝64+