Question

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，求：
（1）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）法一：利用二倍角公式，两角和的正弦函数，化简函数为2+

2

sin(2x+

π

4

)，然后求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
法二：利用平方关系，两角和的正弦函数，化简函数为2+

2

sin(2x+

π

4

)，然后求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）解法一：∵f(x)=

1-cos2x

2

+sin2x+

3(1+cos2x)

2

=2+sin2x+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)（4分）
∴当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

(k∈Z)时，f（x）取得最大值2+

2

．
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}． （8分）

解法二：∵f（x）=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x=1+sin2x+1+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)（4分）
∴当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

(k∈Z)时，f（x）取得最大值2+

2

．
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}（8分）

（2）解：f(x)=2+

2

sin(2x+

π

4

)
由题意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，即kπ-

3

8

π≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)．
因此，f（x）的单调增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)． （12分）

点评：本题考查三角函数的最值，正弦函数的单调增区间的求法，考查计算能力，基本知识掌握的熟练程度，高考常考题型．