Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，观察如图的程序框图，若k=5，k=10时，分别有S=

5

11

和S=

10

21

（1）试求数列{a_n}的通项；
（2）令b_n=n•2^a（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n的值．

Answer 1

分析：（1）数列{a_n}的各项均为正数，观察如图的程序框图，主要循环条件i＞k，求和M=

1

akak+1

，求出S，讨论d与0的关系，从而求数列{a_n}的通项；
（2）由（1）可得：b_n=n•2^2n-1，数列{b_n}的前n项和T_n的值，利用错位相减法求出T_n，从而进行求解；

解答：解：（1）由框图可知S=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

akak+1

，
∵{a_n}是等差数列，设公差为d，
若d=0，则当k=5时，S=5×

1

a 2 1

=

5

11

可得a₁=

11

，
当k=10时，S=10×

1

a 2 1

=

10

21

可得a₁=

21

，显然不成立，故舍去，
∴d≠0，∴

1

akak+1

=

1

d

（

1

ak

-

1

ak+1

），
所以，S=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

+…+

1

ak

-

1

ak+1

)=

1

d

（

1

a1

-

1

ak+1

）
由题意可知，k=5时，S=

5

11

，k=10时，S=

10

21

，

1 d ( 1 a1 - 1 a6 )= 5 11 1 d ( 1 a1 - 1 a11 )= 10 21

⇒

a1=1 d=2

或

a1=-1 d=-2

，
故a_n=2n-1；
（2）由（1）可得：b_n=n•2^2n-1，
∴T_n=1•2+2•2³+3•2⁵+…+（n-1）•2^2n-3+n•2^2n-1①，
又2²•T_n=1•2³+2•2⁵+…+（n-1）2^2n-1+n•2²ⁿ⁺¹，②
①-②得，
-3Tn=2+2³+2⁵+…+2^2n-1-n•2²ⁿ⁺¹=

2(1-4n)

1-4

-n•22n+1=

2(1-4n)

-3

-n•22n+1
∴T_n=

2

9

（1-4n）+

n

3

•22n+1即T_n=

2

9

+

2(3n-1)

9

•4n；

点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，是一道中档题；