【题目】已知f(x)=x2﹣alnx,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a>0时,若f(x)的最小值为1,求a的值;
(3)设g(x)=f(x)﹣2x,若g(x)在[ , ]有两个极值点x1 , x2(x1<x2),证明:g(x1)﹣g(x2)的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=1 时,f′(x)==
∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,x∈(2,+∞),f′(x)>0.
∴f(x)在x=2时取得极小值且为最小值,其最小值为 f(2)=﹣2ln2
(Ⅱ)∵f′(x)=x﹣+(a﹣2)==
∴(1)当﹣2<a≤0时,若x∈(0,﹣a)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
x∈(﹣a,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
(2)当a=﹣2时,x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数;
(3)当a<﹣2时,x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
x∈(2,﹣a)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
x∈(﹣a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数
(Ⅲ)证明:假设存在实数a使得对任意的 x1 , x2∈(0,+∞),且x1≠x2 , 有 >a恒成立,
不妨设0<x1<x2 , 只要 >a,即:f(x2)﹣ax2>f(x1)﹣ax1
令g(x)=f(x)﹣ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数
又函数g(x)=x2﹣2alnx﹣2x.
考查函数g′(x)=x﹣﹣2)==
要使g′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,只要﹣1﹣2a≥0,即a≤﹣,
故存在实数a∈(﹣∞,﹣]时,对任意的 x1 , x2∈(0,+∞),且x1≠x2 , 有 >a恒成立
【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的定义域,当a=1 时,求出f′(x),判断函数的单调性,求解函数的最小值即可.
(Ⅱ)化简求解f′(x)= , 通过(1)当﹣2<a≤0时,(2)当a=﹣2时,(3)当a<﹣2时,分别求解函数的单调性即可.
(Ⅲ)假设存在实数a使得对任意的 x1 , x2∈(0,+∞),且x1≠x2 , 有 >a恒成立,转化方程为f(x2)﹣ax2>f(x1)﹣ax1构造g(x)=f(x)﹣ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数,利用导数求解函数的最小值,导函数的符号,判断证明即可。
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知A(1,2,3),B(2,1,2),C(1,1,2),O为坐标原点,点D在直线OC上运动,则当·取最小值时,点D的坐标为( )
A. B.
C. D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= , g(x)=asin(x+π)﹣2a+2(a>0),给出下列结论:
①函数f(x)的值域为[0,];
②函数g(x)在[0,1]上是增函数;
③对任意a>0,方程f(x)=g(x)在区间[0,1]内恒有解;
④若x1∈R,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是:≤a≤ .
其中所有正确结论的序号为
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【题目】四棱锥中, 面, 是平行四边形, , ,点为棱的中点,点在棱上,且,平面与交于点,则异面直线与所成角的正切值为__________.
【答案】
【解析】
延长交的延长线与点Q,连接QE交PA于点K,设QA=x,
由,得,则,所以.
取的中点为M,连接EM,则,
所以,则,所以AK=.
由AD//BC,得异面直线与所成角即为,
则异面直线与所成角的正切值为.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】在极坐标系中,极点为,已知曲线: 与曲线: 交于不同的两点, .
(1)求的值;
(2)求过点且与直线平行的直线的极坐标方程.
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【题目】设函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x﹣4|>m对一切实数x均成立,求m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= sinωx﹣cosωx+m(ω>0,x∈R,m是常数)的图象上的一个最高点 ,且与点 最近的一个最低点是 .
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 ac,求函数f(A)的值域.
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