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如图,已知平行四边形ABCD中,AD=2,CD=
2
,∠ADC=45°,AE⊥BC,垂足为E,沿直线AE将△BAE翻折成△B′AE,使得平面B′AE⊥平面AECD.连接B′D,P是B′D上的点.
(Ⅰ)当B′P=PD时,求证:CP⊥平面AB′D;
(Ⅱ)当B′P=2PD时,求二面角P-AC-D的余弦值.
分析:(Ⅰ) 由已知,得出E′E⊥EC,建立空间直角坐标系.通过
AB
CP
=0,
AD
CP
=0得出CP⊥AB′,CP⊥AD,证出CP⊥平面AB′D;
 (Ⅱ)设P(x,y,z),则
BP
=(x,y,z-1),
PD
=(2-x,1-y,-z),由
BP
=2
PD
得出P( 
4
3
2
3
1
3
),分别求出面PAC 的法向量,平面DAC的法向量,利用向量的夹角求出二面角P-AC-D 的大小.
解答:解:(Ⅰ)∵AE⊥BC,平面B′AE⊥平面AECD,∴B′E⊥EC.
如图建立空间直角坐标系,…(2分)
则A(0,1,0),B′(0,0,1),C(1,0,0),
D(2,1,0),E(0,0,0),P(1,
1
2
1
2
).
AB
=(0,-1,1),
AD
=(2,0,0),
CP
=(0,
1
2
1
2
).   …(4分)
AB
CP
=0,∴CP⊥AB′
AD
CP
=0,∴CP⊥AD
又AB′∩AD=A,
∴CP⊥平面AB′D;     …(7分)
(Ⅱ)设P(x,y,z),则
BP
=(x,y,z-1),
PD
=(2-x,1-y,-z),
BP
=2
PD

x=4-2x
y=2-2y
z-1=-2z

解得x=
4
3
y=
2
3
,z=
1
3

∴P( 
4
3
2
3
1
3

AP
=( 
4
3
-
1
3
1
3
),
AC
=(1,-1,0)…(10分)
 设面PAC 的法向量为
n
=(x,y,z),
n
AP
4x
3
-
y
3
+
z
3
=0 
n
AC
=x-y=0

取x=y=1,z=-3.,则
n
=(1,1,-3),…(12分)
又平面DAC的法向量为
m
=(0,0,1),
设二面角P-AC-D的大小为θ,则cosθ=
m
n
 
|
m
||
n
|
=
3
11
=
3
11
11
.    …(14分)
点评:本题考查空间直线和平面垂直的判定,二面角大小求解.考查空间想象、推理论证能力.利用空间向量的方法,能降低思维难度,思路相对固定,是人们研究解决几何体问题又一有力工具.
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3

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(2)求二面角F-BD-A的余弦值;
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AE
AF
的最大值为
31
2
31
2

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