Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB= CD=1，M为PB的中点．
（1）试在CD上确定一点N，使得MN∥平面PAD；
（2）点N在满足（1）的条件下，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：CN= ND，MN∥平面PAD．

过M作ME∥AB交PA于E，连接DE．

∵CN= ND，

∴CN= CD= AB=EM．

又EM∥DC∥AB，∴EM∥DN，且EM=DN

∴DEMN为平行四边形，

∴MN∥DE，

又DE平面PAD，MN平面PAD，

∴MN∥平面PAD

（2）解：∵MN∥DE

∴直线MN与平面PAB所成角等于直线DE与平面PAB所成角

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AD，

∵AB⊥AD，PA∩AB=A，

∴AD⊥平面PAB，

∴∠AED为直线DE与平面PAB所成角．

∵AE= ，AD=1，

∴DE= ，

∴sin∠AED= = ．

∴直线MN与平面PAB所成角的正弦值为

【解析】（1）CN= ND，MN∥平面PAD，过M作ME∥AB交PA于E，连接DE，证明MN∥DE即可；（2）利用MN∥DE，考的直线MN与平面PAB所成角等于直线DE与平面PAB所成角．解△AED即可．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．