Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）="3" 700x+45x²-10x³（单位：万元），成本函数为C（x）="460x+5" 000（单位：万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.

（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值-成本）

（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

Answer 1

（1）MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x²+60x+3 275 (x∈N^*,且1≤x≤19)

（2）年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大

（3）MP（x）是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少

 （1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3 240x-5 000（x∈N^*，且1≤x≤20）;
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x²+60x+3 275 (x∈N^*,且1≤x≤19).
（2）P′(x)=-30x²+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),
∵x＞0,∴P′(x)=0时,x=12，
∴当0＜x＜12时，P′(x)＞0,当x＞12时，P′(x)＜0,
∴x=12时，P(x)有最大值.
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.
（3）MP（x）=-30x²+60x+3 275=-30（x-1）²+3 305.
所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，
所以单调减区间为［1，19］，且x∈N^*.
MP（x）是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.