【题目】抛物线的焦点为,点,为抛物线上一点,且不在直线上,则周长的最小值为____.
【答案】
【解析】
求△MAF周长最小值,即求|MA|+|MF|的最小值.设点M在准线上的射影为D,根据抛物线定义知|MF|=|MD|,转为求|MA|+|MD|的最小值,当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小,即可得到答案.
求△MAF周长的最小值,即求|MA|+|MF|的最小值,
设点M在准线上的射影为D,则
根据抛物线的定义,可知|MF|=|MD|
因此,|MA|+|MF|的最小值,即|MA|+|MD|的最小值
根据平面几何知识,可得当D,M,A三点共线时|MA|+|MD|最小,
因此最小值为xA﹣(﹣1)=2+1=3,
∵|AF|==,
∴△MAF周长的最小值为3+,
故答案为:3+
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【题目】已知点,,点为曲线上任意一点且满足.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线与轴交于、两点,点是曲线上异于、的任意一点,直线、分别交直线于点、.试问在轴上是否存在一个定点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】椭圆的离心率是,过点的动直线与椭圆相交于两点,当直线与轴平行时,直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在轴上是否存在异于点的定点,使得直线变化时,总有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求的极坐标方程与的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为, 与相交于两点,求的面积.
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【题目】一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形为正方形,、分别为、的中点,在此几何体中,给出的下面结论中正确的有( )
A. 直线与直线异面 B. 直线与直线异面
C. 直线平面 D. 直线平面
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【题目】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: ,其中是仪器的月产量.(注:总收益=总成本+利润)
(1)将利润表示为月产量的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?
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【题目】李冶(1192-1279),真定栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径,正方形的边长等,其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注: 平方步为亩,圆周率按近似计算)
A.步、步B.步、步C.步、步D.步、步
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,中心在原点的椭圆C的上焦点为,离心率等于.
求椭圆C的方程;
设过且不垂直于坐标轴的动直线l交椭圆C于A、B两点,问:线段OF上是否存在一点D,使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.
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