Question

设数列{a_n}中，a₁=1，点(

an

，an+1)，n∈N*函数y=x²+2的图象上，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₁）=b₁．
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

bn

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）根据数列{a_n}中，a₁=1，点(

an

，an+1)，n∈N*函数y=x²+2的图象上，可得数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列，从而可求{a_n}的通项公式；利用{b_n}为等比数列可得{b_n}的通项公式；
（2）确定数列{

an

bn

}的通项，利用错位相减法可求前n项和．

解答：解：（1）由已知得a_n+1=a_n+2，∴a_n+1-a_n=2，
又a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列．…（3分）
故a_n=1+2（n-1）=2n-1…（4分）
∵b₁=a₁=1，b₂×4=1，∴b2=

1

4

又∵{b_n}为等比数列，∴bn=1•(

1

4

)n-1…（8分）
（2）

an

bn

=(2n-1)•4n-1，记数列{

an

bn

}的前n项和为S_n…（10分）
∴Sn=1+3•41+5•42+…+(2n-1)•4n-1
∴4Sn=4+3•42+5•43+…+(2n-1)•4n
两式相减，可得-3Sn=1+2•41+2•42+…+2•4n-1-(2n-1)•4n
∴-3S_n=-（6n-5）•4ⁿ-5
∴Sn=

1

3

[(6n-5)•4n+5]…（14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，利用错位相减法求数列的和是关键．