Question

15．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$），则函数y=f（x）-log₄|x|的零点个数是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 f（x）是个周期为2的周期函数，且是个奇函数，在一个周期（-1，1）上，y=-sin$\frac{π}{2}$x，-1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期上的图象；y=log₄|x|是个偶函数，图象过（1，0），和（4，1），结合图象可得函数y=f（x）的图象与函数y=log₄|x|的图象的交点个数，从而得到函数零点个数．

解答 解：由题意知，函数y=f（x）是个周期为2的周期函数，且是个奇函数，在一个周期（-1，1）上，y=-sin$\frac{π}{2}$x，-1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期上的图象．
函数y=log₄|x|是个偶函数，先看他们在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，y=log₄|x|=log₄x，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与f（x）交与3个不同点，∴函数y=f（x）的图象与函数y=log₄|x|的图象的交点个数是6个．
故选C．

点评 本题本题考查函数的周期性、奇偶性、函数图象的对称性，体现数形结合的数学思想．考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件分析函数的性质，进而判断出函数零点的分布情况是解答本题的关键．