Question

6．设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）讨论f（x）的奇偶性； 
（2）若x≥a，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）讨论a=0，a≠0时，运用奇偶性定义，即可判断；
（2）运用配方法，对a讨论，若a≤-$\frac{1}{2}$，a＞-$\frac{1}{2}$，根据单调性，即可求得最小值．

解答 解：（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（-a）≠f（a）．
且f（-x）=x²+|-x-a|+1≠±f（x），
此时函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）当x≥a时，函数$f（x）={x^2}+x-a+1={（x+\frac{1}{2}）^2}-a+\frac{3}{4}$．
若a≤-$\frac{1}{2}$，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为$f（-\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}-a$．
若a＞-$\frac{1}{2}$，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，
从而，函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1．
综上，当a≤-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）的最小值是$\frac{3}{4}$-a．
当a＞-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）的最小值是a²+1．

点评 本题考查函数的奇偶性和最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．