Question

问题“求方程3^x+4^x=5^x的解”有如下的思路：方程3^x+4^x=5^x可变为(

3

5

)x+(

4

5

)x=1，考察函数f（x）=(

3

5

)x+(

4

5

)x可知，f（2）=1，且函数f（x）在R上单调递减，∴原方程有唯一解x=2．仿照此解法可得到不等式：x⁶-（2x+3）＞（2x+3）³-x²的解是

{x|x＜-1或x＞3}

．

Answer 1

分析：把给出的不等式变形为x⁶+x²＞（2x+3）³+（2x+3），然后引入函数f（x）=x³+x，由函数的单调性把不等式转化为较为简单的不等式，求解不等式得答案．

解答：解：把不等式：x⁶-（2x+3）＞（2x+3）³-x²变形，
得到x⁶+x²＞（2x+3）³+（2x+3）．
考察函数f（x）=x³+x，函数f（x）在R上为增函数，
故f（u）＞f（v）?u＞v．
不等式x⁶+x²＞（2x+3）³+（2x+3）中的x²看作u，2x+3看作v．
则有x²＞2x+3，解得x＜-1或x＞3．
故答案为x＜-1或x＞3．

点评：本题考查了简单的合情推理，解答的关键是把复杂的高次不等式通过合理变化，转化为较为简单的不等式，这里构造函数且利用函数的单调性进行转化是解答该题的着眼点，此题是中档题．