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4.已知函数f(x)=-x4+ax3+$\frac{1}{2}$bx2的单调递减区间为(0,$\frac{1}{2}$),(1,+∞).
(1)求实数a,b的值;
(2)试求当x∈[0,2]时,函数f(x)的最大值.

分析 (1)求出函数的导数,根据关于导函数的方程,求出a,b的值即可;
(2)求出函数导数,列出表格,求出函数的单调区间,从而求出在闭区间上的最大值即可.

解答 解:(1)f'(x)=-4x3+3ax2+bx=-x(4x2-3ax-b),…(2分)
∵函数f (x)的单调递减区间为(0,$\frac{1}{2}$),(1,+∞),
∴方程-x(4x2-3ax-b)=0的根为x1=0,x2=$\frac{1}{2}$,x3=1,…(3分)
即4x2-3ax-b=0的根为x2=$\frac{1}{2}$,x3=1,
于是$\frac{3a}{4}$=$\frac{1}{2}$+1,-$\frac{b}{4}$=$\frac{1}{2}$,解得a=2,b=-2,…(5分)
(2)由(1)知,f (x)=-x4-2x3+x2,f'(x)=-2x(2x-1)(x-1),

x(-∞,0)0(0,$\frac{1}{2}$)$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$,1)1(1,+∞)
f'(x)+0-0+0-
f (x)极大值极小值极大值
…(7分)
∴f (x)在[0,$\frac{1}{2}$]上单调递减,在[$\frac{1}{2}$,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,
又∵f (0)=0,f (1)=0,
∴f (x)在[0,2]有最大值0.…(10分)

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.

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