Question

关于x的方程x²+2（a-1）x+2a+6=0至少有一个正根，则a的取值范围为（　　）

A．a≤-1

B．a＜-3

C．a≤-3

D．-3≤a≤1

Answer 1

分析：先求出判别式△的解析式，①当方程只有一个根时，△=0，求出此时a 值，并检验．②当方程有两个根时，
△＞0，若方程的两个根中有一个正根，另一个为负根或零根，则由两根之积小于或等于0，求得a的范围；若方程有两个正根，由根与系数的关系求出a的范围，再把①②中a的范围取并集，即为所求．

解答：解：∵△=4（a²-4a-5），①当方程只有一个根时，△=0，此时a=-1 或a=5．
若a=-1，此时方程为 x²-4x+4=0，它的根x=2符合条件．
若a=5，此时方程x²+8x+16=0，它的根x=-4不符合条件，舍去．
②当方程有两个根时，△＞0可得5＜a，或a＜-1．
若方程的两个根中有一个正根，另一个为负根或零根，则有2a+6≤0，解可得 a≤-3．
若方程有两个正根，则

-2(a-1) ＞0 2a+6 ＞0

，解可得-3＜a＜1．
故 a＜-1．
综合①②可得，a≤-1．
故选：A．

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次方程根的判别式的应用，体现了分类讨论和转化的数学
思想，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．