Question

在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．
（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；
（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX．

Answer 1

分析：（1）由题意知蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，可以得到这是一个等可能事件的概率，做出条件中所给的两个几何体的体积，求比值得到结果．
（2）本题符合独立重复试验，实验一共复数10次，恰好有一次发生，发生的概率根据上一问做出的结果，代入公式得到概率．
（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，得到变量X满足二项分布，根据二项分布的期望公式得到结果．

解答：解：（1）由题意知蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，
可以得到这是一个等可能事件的概率，
记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B．
依题意，P(A)=

V小椎体

V圆椎体

=

1 3 • 1 4 •S圆锥底面• 1 2 h圆锥

1 3 •S圆锥底面h圆锥

=

1

8

∴P(B)=1-P(A)=

7

8

∴蜜蜂落入第二实验区的概率为

7

8

．
（2）本题符合独立重复试验，
记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C，则
P(C)=

C

1 10

×

7

8

×(

1

8

)9=

70

810

=

70

230

∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率

70

230

．
（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，
∴变量X满足二项分布，即X～(40，

1

8

)
∴随机变量X的数学期望EX=40×

1

8

=5

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查独立重复试验，这种类型是近几年高考题中经常出现的，大型考试中理科考试必出的一道问题．