Question

4．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sin6x+{e}^{-3ax}-1}{3x}，x≠0}\\{a，x=0}\end{array}\right.$在点x=0连续，则a=1．

Answer 1

分析 由f（x）在点x=0连续，$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin6x+{e}^{-3ax}-1}{3x}$=f（a），根据等价无穷小代换，即可求得a的值．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sin6x+{e}^{-3ax}-1}{3x}，x≠0}\\{a，x=0}\end{array}\right.$在点x=0连续，
由等价无穷小代换：sin6x=6x，e^-3ax-1=-3ax，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin6x+{e}^{-3ax}-1}{3x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{6x-3ax}{3x}$=2-a，
∴2-a=a，
∴a=1，
故答案为：1．

点评 本题考查函数在某点连续，等价无穷小代换，考查分析问题及解决问题得能力，属于中档题．