Question

数列{b_n}（b_n＞0）的首项为1，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

S

+

Sn-1

（n≥2）
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

b nbn-1

}的前n项和为T_n，问满足T_n＞

1001

2012

的最小正整数n是多少？

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）把已知等式的左边展开平方差公式，约分后得到

Sn

-

Sn-1

=1，得到数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式求得通项后然后由b_n=S_n-S_n-1求得数列{b_n}的通项公式；
（2）由裂项相消法求出数列{

1

b nbn-1

}的前n项和为T_n，再由T_n＞

1001

2012

解得满足T_n＞

1001

2012

的最小正整数n．

解答： 解：（1）∵Sn-Sn-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=(

Sn

+

Sn-1

)(n≥2)
=(

Sn

+

Sn-1

)(n≥2)
又b_n＞0，

Sn

＞0，
∴

Sn

-

Sn-1

=1；
数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+(n-1)×1=n，Sn=n2
当n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1；
n=1时，也适合上式．
∴bn=2n-1(n∈N*)；
（2）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；
由Tn=

n

2n+1

＞

1001

2012

，得n＞

1001

10

，
∴满足Tn＞

1001

2012

的最小正整数为101．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了不等式的解法，是中档题．