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在平面直角坐标系中,矩形纸片ABCD的长为4,宽为2.AB,AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合.将矩形纸片沿直线折叠,使点A落在边CD上,记为点A',如图所示.
(1)设A'的坐标是(2a,2)(0≤a≤2),写出折痕所在直线的方程;
(2)若折痕经过B时,求折痕所在直线的斜率,并写出以折痕为直径的圆方程.

【答案】分析:(1)当a=0时,其折痕为线段OD的垂直平分线,由D和O的坐标求出线段OD的中点纵坐标,得到过中点且与y轴垂直的直线方程即为折痕所在的直线方程;当0<a≤2时,根据对称性质得到线段A'A的中点在折痕上,且折痕与直线A'A垂直,由A和A'的坐标求出线段A'A的中点坐标,及直线A'A的斜率,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出折痕所在直线的斜率,由求出的中点坐标和斜率写出折痕所在的直线方程即可;
(2)把B的坐标代入(1)求出的折痕方程得到关于a的一元二次方程,求出方程的解得到a的值,进而得到折痕的斜率,进而确定出折痕所在直线的方程,求出折痕与y轴交点M的坐标,再利用中点坐标公式求出折痕中点N的坐标,即为圆心的坐标,由两点间的距离公式求出|MB|的长,即为圆的半径,由求出的圆心和半径写出圆的标准方程即可.
解答:解:(1)当a=0时,则“拆痕”所在的直线为线段AD的中垂线,它的方程为y=1.
当0<a≤2时,则线段A'A的中点E是(a,1),直线A'A的斜率kA'A=
从而折痕所在直线的斜率k=-a,
此时折痕所在直线的方程为ax+y-1-a2=0;
(2)若折痕经过B时,由a2-4a+1=0,
解得a=2+(舍去),或a=2-
所以折痕所在直线的斜率为-2.
此时折痕与y轴的交点M的坐标为(0,8-4),折痕中点N的坐标为(2,4-2),
则MB2=42+(8-42=16(8-4).
所以折痕为直径的圆方程为(x-2)2+(y-4+22=32-16
点评:此题考查了圆的标准方程,中点坐标公式,两点间的距离公式,两直线垂直时斜率满足的关系,直线的一般式方程,以及两直线的交点坐标,其中第一问熟练掌握折叠性质是解题的关键,第二问根据题意求出M和N的坐标是解题的关键.
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