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若实数a,b,c,d满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(  )
A、
2
B、2
C、2
2
D、8
分析:由题设b+a2-3lna=0,设b=y,a=x,得到y=3lnx-x2;c-d+2=0,设c=x,d=y,得到y=x+2,所以(a-c)2+(b-d)2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值,由此能求出(a-c)2+(b-d)2的最小值.
解答:解解:∵实数a、b、c、d满足:
(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,
∴b+a2-3lna=0,设b=y,a=x,则有:y=3lnx-x2,且c-d+2=0,设c=x,d=y,则有:y=x+2,
∴(a-c)2+(b-d)2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值,
对曲线y=3lnx-x2求导:y′(x)=
3
x
-2x,
与y=x+2平行的切线斜率k=1=
3
x
-2x,解得:x=1或x=-
3
2
(舍),
把x=1代入y=3lnx-x2,得:y=-1,即切点为(1,-1),
切点到直线y=x+2的距离:
|1+1+2|
2
=2
2

∴(a-c)2+(b-d)2的最小值就是8. 
故选:D.
点评:本题考查对数运算法则的应用,是中档题,解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用.
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•盐城二模)若实数a、b、c、d满足
a2-2lna
b
=
3c-4
d
=1
,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为
2(ln2-1)2
5
2(ln2-1)2
5

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•卢湾区一模)若实数a、b、c、d满足矩阵等式
ab
02
11
02
=
24
cd
,则行列式
.
ab
cd
.
的值为
8
8

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题中假命题的是(  )
①若实数a,b,c,d满足a>b>0,c>d>0,则a2-
d
b2-
c

②若实数a,b满足a>b,则(
1
3
)a<(
1
3
)b

③若实数a,b满足a>0,b>0,且a2+b2=2,则a+b的最小值为2;
④若实数a,b满足a>0,b>0,且a+b=ab,则ab的最大值为4.

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科目:高中数学 来源: 题型:

若实数a,b,c,d满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(  )
A、
2
B、2
C、2
2
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