Question

设函数f(x)=lnx+

a

x-1

在(0，

1

e

)内有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），求证：f(x2)-f(x1)＞e+2-

1

e

．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），求导函数，利用函数f(x)=lnx+

a

x-1

在(0，

1

e

)内有极值，可得f′（x）=0在(0，

1

e

)内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）根据αβ=1，可设0＜α＜

1

e

，则β＞e，从而可求实数a的取值范围；
（2）求导函数确定函数f（x）的单调性，进而由x₁∈（0，1），可得f(x1)≤f(α)=lnα+

a

α-1

；由x₂∈（1，+∞），可得f(x2)≥f(β)=lnβ+

a

β-1

，所以f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），又f(β)-f(α )=2lnβ+a×

α-β

(β-1)(α-1)

=2lnβ+β -

1

β

．记h(β)=2lnβ+β -

1

β

(β＞e)，可得h（β）在（0，+∞）上单调递增，从而问题得证．

解答：（1）解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
求导函数f′(x)=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-(a+2)x+1

x(x-1)2

∵函数f(x)=lnx+

a

x-1

在(0，

1

e

)内有极值
∴f′（x）=0在(0，

1

e

)内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨设0＜α＜

1

e

，则β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴g(

1

e

)=

1

e2

-

a+2

e

+1＜0，
∴a＞e+

1

e

-2
（2）证明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）递增
由x₁∈（0，1），可得f(x1)≤f(α)=lnα+

a

α-1

由x₂∈（1，+∞），可得f(x2)≥f(β)=lnβ+

a

β-1

∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴f(β)-f(α )=2lnβ+a×

α-β

(β-1)(α-1)

=2lnβ+a×

1 β -β

2-(a+2)

=2lnβ+β -

1

β

记h(β)=2lnβ+β -

1

β

(β＞e)
则h′（β）=

2

β

+1+

1

β2

＞0，h（β）在（0，+∞）上单调递增
∴h(β)＞h(e)=e+2-

1

e

∴f(x2)-f(x1)＞e+2-

1

e

点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查不等式的证明，综合性比较强．