Question

【题目】等腰直角△内接于抛物线()，其中为抛物线的顶点，，△的面积是16.

（1）求抛物线的方程；

（2）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，交轴于点，若，，证明：是一个定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设点，，由抛物线方程、两点之间距离公式可得，结合面积即可得点A坐标，代入即可得解；

（2）设直线，点，，由平面向量的知识可得，联立方程组，结合韦达定理即可得证.

（1）设点，，则，，

因为△为等腰直角三角形，，所以，

所以，化简得，

由，，可得，

所以即，所以点A、点B关于x轴对称，

又△的面积是16，所以，

不妨设点，所以，解得，

所以抛物线的方程为；

（2）证明：由题意可知点，直线的斜率存在且不为0，

设直线，点，，

所以点，，，，

，

因为，，

所以，，

所以，

由消去x可得，，

所以，，

所以，

所以是一个定值, 且.