本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及求解函数的极值,导数的几何意义的应用,解决本题的关键是灵活应用方程的实根分布进行求解.
(I)先对函数求导f′(x)=3x
2-3a,分a>0,f′(x)≥0,a>0则x=±
,讨论函数的单调性,进而求解函数的极值,从而可求a
(II)由题意可求切线方程y=-9x,由 y=-9x与y=2bx
2-7x-3-b,
在[-1,1]上的图象有交点,说明函数得函数h(x)=2bx
2+2x-3-b在区间[-1,1]上有零点,利用方程的实根分别问题进行求解即可
解: (Ⅰ)
,又函数
有极大值
,得
在
上递增,在
上递减
,得
…………………………7分
(Ⅱ)设切点
,则切线斜率
所以切线方程为
将原点坐标代入得
,所以
切线方程为
由
得
设
则令
,得
所以
在
上递增,在
上递减
所以
若
有两个解,则
得
…………………………15分