Question

【题目】如图，已知多面体中，，平面，，，，.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由余弦定理得PB，从而PB⊥AB，由AD⊥平面PAB，得AD⊥PB，再由PB⊥AB，能证明PB⊥平面ABCD．

（Ⅱ）由余弦定理求出cos∠PDC，从而sin∠PCD，S△ACD＝2，设直线PA与平面PCD所成角为θ，点A到平面PCD的距离为h，由VA﹣PDC＝VP﹣ACD，得h，从而sinθ，由此能求出直线PA与平面PCD所成角的正弦值．

（Ⅰ）在中，，，，

所以，，

所以，，

因为，所以，，，四点共面.

又平面，平面，

所以.

又，，

所以平面.

（Ⅱ）（方法一）在中，，

在中，.

在直角梯形中，.

在中，

，.

所以，.

设直线与平面所成的角为，设点到平面的距离为，

因为，所以，即，

所以，，

故直线与平面所成的角的正弦值为.

（方法二）由（Ⅰ）知，平面，.

以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，.

设直线与平面所成的角为，

设平面的一个法向量为，

由得取，

则，，所以.

所以 ，

故直线与平面所成的角的正弦值为.

（方法三）延长，相交于点，连结.

因为，，所以为的中位线，

点，分别为，的中点.所以为等腰三角形.

取中点，连，.

所以，，，

所以平面，又平面，所以平面平面.

作于，连，所以平面.

所以就是直线与平面所成的角.

因为，，，

所以，所以.

所以，

故直线与平面所成的角的正弦值为.