Question

设A和B是抛物线上的两个动点，且在A和B处的抛物线切线相互垂直，已知由A、B及抛物线的顶点所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为L₁．对L₁重复以上过程，又得一抛物线L₂，余类推．设如此得到抛物线的序列为L₁，L₂，…，L_n，若抛物线的方程为y²=6x，经专家计算得，L₁：y²=2（x-1），L2：y2=

2

3

(x-1-

1

3

)=

2

3

(x-

4

3

)，L3：y2=

2

9

(x-1-

1

3

-

1

9

)=

2

9

(x-

13

9

)，…，Ln：y2=

2

Sn

(x-

Tn

Sn

)．   则2T_n-3S_n=

-1

．

Answer 1

分析：写出分子上的数列观察数列的结构，看出数列的前后两项之差是一个等比数列，利用叠加的方法做出第n项，同样写出分母上数列的项观察得到这是一个等比数列，写出通项，做出最后两个数的差，得到结果．

解答：解：由题意知1，4，13，40…组成一个数列，
数列的前后两项之差是一个等比数列，
即a_n-a_n-1=3^n-1，
…
a₃-a₂=3²
a₂-a₁=3，
把上述式子相加得到a_n-1=3+3²+…+3^n-1
∴Tn=

3n-1

2

由1，3，9，27…组成的数列的通项是3^n-1，
∴s_n=3^n-1
∴2T_n-3S_n=2×

3n-1

2

-3×3n-1=-1
故答案为：-1

点评：本题考查归纳推理，是一个考查数列问题的题目，解题的关键是看清题目的中所给的数列的项，做出数列的通项，注意项与项数的对应．