Question

17．已知A（2，5），B（4，1），c（5，m）；
（1）当m=3时，求$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$夹角的余弦值；
（2）当$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$夹角为锐角时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得$\overrightarrow{CA}$=（-3，2），$\overrightarrow{CB}$=（-1，-2），有向量的夹角公式计算即可得到所求余弦值；
（2）求得$\overrightarrow{CA}$=（-3，5-m），$\overrightarrow{CB}$=（-1，1-m），$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$夹角为锐角时，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$＞0且$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$不共线，运用数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）当m=3时，A（2，5），B（4，1），C（5，3），
$\overrightarrow{CA}$=（-3，2），$\overrightarrow{CB}$=（-1，-2），
则$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{3-4}{\sqrt{13}•\sqrt{5}}$
=-$\frac{\sqrt{65}}{65}$；
（2）$\overrightarrow{CA}$=（-3，5-m），$\overrightarrow{CB}$=（-1，1-m），
$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$夹角为锐角时，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$＞0且$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$不共线，
则3+（5-m）（1-m）＞0，且-3（1-m）≠-（5-m），
解得m＞4或m＜2且m≠-1．

点评 本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，考查向量的夹角的求法和向量为锐角的等价条件，属于中档题和易错题．