Question

【题目】为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分）．以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数模型．园区服务中心P在x轴正半轴上，PO＝百米．

（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；

（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道直线段PQ最短．

Answer 1

【答案】(1) 的最小值为百米．

(2) 当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．

【解析】

（1）设，，求出 ，再利用基本不等式求OM的最短长度.(2) 当直线与边界曲线相切时，最短．设切点为，求出切点为，切线方程为，令，得，即点在线段上且距离轴百米．

（1）设，，

则 ，

当且仅当，即时取等号．

所以的最小值为百米．

（2）当直线与边界曲线相切时，最短．

设切点为，由得，

所以切线的方程为．

因为在轴正半轴上，且PO=，所以点坐标为．

因为切线过点，所以，

整理得，解得，或．

因为，所以，此时切点为，切线方程为．

令，得，即点在线段上且距离轴百米．

答：当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．