Question

在平面直角坐标系xoy中，设点，直线l：，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（ I） 求动点Q的轨迹的方程C；
（ II） 设圆M过A（1，0），且圆心M在曲线C上，设圆M过A（1，0），且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时弦长|TS|是否为定值？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（ I） 判断动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，即可得到抛物线的方程；
（ II）M到y轴的距离为d=|x|=x，求出圆的半径，即可表示出弦长|TS|，利用M（x，y）∈C，即可得到结论．
解答：解：（ I） 依题意知，直线l的方程为：．…（2分）
∵点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．…（4分）
∴|PQ|是点Q到直线l的距离．
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴|PQ|=|QF|．…（6分）
故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其方程为：y²=2x（x＞0）．…（8分）
（ II）?M（x，y）∈C，M到y轴的距离为d=|x|=x，…（9分）
圆的半径，…（10分）
则，M（x，y）∈C…（12分）
由（ I）知，
所以，是定值．…（14分）
点评：本题考查抛物线的定义，考查轨迹方程，考查圆中弦长的求解，正确运用抛物线的定义是关键．