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设定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx,当x=-时,f(x)取得极大值,并且函数y=f′(x)的图象关于y轴对称.
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)若曲线C对应的解析式为,求曲线过点P(2,4)的切线方程.
【答案】分析:(1)因为函数图象关于y轴对称,得到函数是偶函数即f(x)=f(-x),得到b=0然后代入解析式中,又因为当x=-时,f(x)取得极大值得f(-)=,f′()=0解出a与b得到f(x)的解析式;
(2)设切点为(x,y),表示出切线方程把P(2,4)代入切线方程得切点坐标,代入切线方程即可.
解答:解:(1)∵f′(x)=3ax2+2bx+c为偶函数,∴f(x)=f(-x),
∴3ax2-2bx+c=3ax2+2bx+c,
∴2bx=0得到b=0,
∴f(x)=ax3+cx
又当x=-时,f(x)取得极大值
f(-)=,f′()=0
∴解得
∴f(x)=x3-x
(2)
设切点为(x,y),则
切线方程为:
代入点P(2,4)化简得:x3-3x2+4=0,解得x=-1,2,
所以切线方程为:x-y+2=0和4x-y-4=0.
点评:考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数某点的切线方程的能力.
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1
2
,n=3
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