Question

20．设函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）

• A． f（2）＞e²f（0），f（2012）＜e²⁰¹²f（0）
• B． f（2）＜e²f（0），f（2012）＜e²⁰¹²f（0）
• C． f（2）＞e²f（0），f（2012）＞e²⁰¹²f（0）
• D． f（2）＜e²f（0），f（2012）＞e²⁰¹²f（0）

Answer 1

分析 求函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$的导数，判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可．

解答 解：∵F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∴函数的导数F′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴F′（x）＜0，
即函数F（x）是减函数，
则F（0）＞F（2），F（0）＞F（2012），
即$\frac{f（0）}{{e}^{0}}＞\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$＞$\frac{f（2012）}{{e}^{2012}}$
即f（2）＜e²f（0），f（2012）＜e²⁰¹²f（0），
故选：B

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件求函数的导数，判断函数的单调性是解决本题的关键．